I. CONCEPTE ŞI MODELE MATEMATICE DE STUDIU ÎN FIZICĂ.

I.1. Fenomene fizice și mărimi fizice.

Definiţie

Un fenomen fizic (proces fizic) se produce atunci când cel puțin una dintre proprietățile fizice ce caracterizează un corp, se modifică în timp.

Observaţie

În urma unui fenomen fizic, corpul nu își schimbă substanța.

Clasificarea fenomenelor fizice.

1. Fenomene mecanice.

  • legate de mișcarea corpurilor (corpul își schimbă poziția față de un reper);
  • alungirea unui resort (resortul își mărește lungimea ) / comprimarea unui resort (resortul își micșorează lungimea) numite şi deformări elastice;
  • spargerea, ruperea, tăierea numite şi deformări plastice.

2. Fenomene termice. Sunt acele fenomene legate de schimbarea stării termice a unui corp:

  • încălzirea (corpul își mărește temperatura ) / răcirea (corpul își micșorează temperatura );
  • dilatarea (corpul își mărește volumul, prin încălzire) / contractarea (corpul își micșorează volumul, prin răcire);
  • topirea (corpul trece din stare solidă în stare lichidă, prin încălzire) / solidificarea (corpul trece din stare lichidă în stare solidă, prin răcire);
  • vaporizarea (corpul trece din stare lichidă în stare gazoasă, prin încălzire) / condensarea (corpul trece din stare gazoasă în stare lichidă, prin răcire);
  • sublimarea (corpul trece din stare solidă în stare gazoasă, prin încălzire)/ / desublimarea (corpul trece din stare gazoasă în stare solidă, prin răcire).

3. Fenomene electrice. Sunt acele fenomene legate de:

  • electrizarea corpurilor (corpul se încarcă cu sarcini electrice);
  • trecerea curentului electric printr-un circuit etc.

4. Fenomene magnetice. Sunt acele fenomene legate de:

  • atracția dintre magnet și metale feroase (fier, nichel, cobalt);
  • atracția și respingerea dintre doi magneți.

5. Fenomene optice. Sunt acele fenomene legate de:

  • reflexia luminii (întoarcerea luminii în primul mediu, cu schimbarea direcției);
  • refracția luminii (trecerea luminii în al doilea mediu cu schimbarea direcției);
  • formarea curcubeului etc..

6. Fenomene acustice. Sunt acele fenomene legate de:

  • propagarea sunetului;
  • reflexia sunetului.

Mărimea fizică.

Definiţie

Mărimea fizică este o proprietate fizică care se poate măsura în mod direct, cu un instrument de măsură sau în mod indirect, cu ajutorul unei formule de calcul.

Iată în următorul tabel mărimile fizice importante studiate în clasa a VIa:

I.2. Etapele realizării unui experiment.

Observaţie

Activitatea practică se constituie ca unul din principalele instrumente ale cunoaşterii umane şi apare firesc, ca în învăţarea fizicii, ştiinţă prin excelenţă experimentală, aceasta să furnizeze cele mai potrivite dovezi pentru fundamentarea teoriei. Învăţând fizica prin activitate experimentală va fi modul cel mai provocator şi interactiv, producându-ți o incitare permanentă și o atitudine pozitivă faţă de conţinutul lecţiilor și nu doar o asimilare pasivă de cunoştinţe.

Definiţie

Experimentul reprezintă o reproducere, cu ajutorul unor aparate speciale, a fenomenului fizic în timpul lecţiei, în condiţiile cele mai favorabile pentru studierea lui.

Observaţie

Experimentul serveşte simultan atât ca sursă de cunoştinţe, cât şi ca metodă de învăţare. A experimenta înseamnă a provoca intenţionat anumite fenomene, în condiţii determinate, pentru studierea lor şi a legilor care le guvernează.

Observarea și măsurarea sunt activități fundamentale în fizică. Pornind de la observarea unor fenomene din natură se realizează experimente în laborator, în cadrul cărora se fac măsurători cu scopul de a găsi legile fizice și formulele matematice care guvernează fenomenul studiat.

Pentru realizarea unui experiment trebuie să parcurgi următoarele etape:

1) Să îți stabililești scopul urmărit în experimentul propus (de exemplu măsurarea unor mărimi, studierea unui fenomen, studierea funcționării unui dispozitiv, demonstrarea unor legi etc.).

2) Să identifici noțiunile teoretice utile în realizarea experimentului.

3) Să îți procuri materialelor necesare.

4) Să respecți cu strictețe normele de protecție a muncii pentru prevenirea accidentărilor.

5) Să respecți modul de lucru.

6) Să efectuezi determinările experimentale și, dacă este cazul, să înregistezi datele într-un tabel.

7) Să prelucrezi datele experimentale.

8) Să identifici sursele de eroare.

9) Să formulezi concluziile referitoare la obiectivul experimentului.

Experiment

1. Cum se determină densitatea unui magnet

Materiale necesare:: 3 magneți naturali de diferite dimensiuni, cântar sau balanță, cilindru gradat cu apă, riglă, hârtie milimetrică (foaie de matematică).

Modul de lucru:

  • Cântărește, pe rând, fiecare magnet pentru a determina masa lor.
  • Măsoară volumul fiecărui magnet cu cilindrul gradat.
  • Completează datele în următorul tabel și prelucrează-le.


  • Dă rezultatul măsurării:


  • Reprezintă grafic masa corpului în funcție de volumul lui. Vei obține o linie dreaptă. Dacă îți alegi un punct arbitrar de pe dreaptă, vei afla masa corpului la un anumit volum al său. De exemplu pentru punctul roșu: avem m = 18,5g și V = 4cm3 .


  • Ce observi? Pentru o anumită substanță, cu cât crește masa sa, cu atât crește și volumul său.

Concluzia experimentului:

  • Densitatea este o constantă pentru o anumită substanță, fiind egală cu raportul dintre masa și volumul corpului.
Experiment

2. Verificarea experimentală a teoremei lui Pitagora.

Materiale necesare:: riglă, hârtie milimetrică (foaie de matematică).

Modul de lucru:

  • Desenează pe hârtia milimetrică trei triungiuri dreptunghice de diferite dimensiuni.
  • Măsoară, pentru fiecare, lungimea ipotenuzei (latura opusă unghiului drept) și a celor două catete.
  • Completează datele în următorul tabel și prelucrează-le.
  • Ce observi? Cu cât crește ipotenuza la pătrat, cu atât crește și suma pătratelor catetelor.

Concluzia experimentului:

  • Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor celor două catete.
Aplică ce ai învăţat: Tema 1
  • În cele trei triunghiuri dreptunghice de la experimentul nr. 2, trasează înălțimea corespunzătoare ipotenuzei și notează piciorul perpendicularei pe ipotenuză.
  • Măsoară, cu ajutorul riglei, aceste înălțimi și proiecțiile catetelor pe ipotenuză.
  • Completează determinările tale în tabelele următoare și prelucrează datele:
Aplică ce ai învăţat: Tema 2
  • Compară rezultatele obținute în ultimele două coloane ale tabelului și trage concluzia experimentului tău. Egalitatea obținută de tine se numește Teorema înălțimii. Scrie enunțul acestei teoreme.
Aplică ce ai învăţat: Tema 3
  • Compară rezultatele obținute în ultimele două coloane ale tabelului și trage concluzia experimentului tău. Egalitatea obținută de tine se numește Teorema catetei. Scrie enunțul acestei teoreme.


I.3. Mărimi fizice scalare și vectoriale

Marea majoritatea mărimilor pot fi adunate aritmetic, de exemplu:

  • La piață vânzătorul a pus pe un taler un pepene și pe celălalt taler al balanței a pus două mase marcate, una de 4kg și cealaltă de 0,5kg, adică pepenele cântărește 4,5kg.
  • Când îți faci temele la matematică stai 1h și la fizică 0,5h, în total 1,5h.
  • În experimentul nr.1 ai determinat masa, volumul și densitatea unui magnet. În afară de valoarea lor numerică și unitatea de măsură mai poți să spui și altceva despre aceste trei mărimi fizice? Răspunsul este nu.

Există cazuri când anumite mărimi nu pot fi adunate algebric, de exemplu:

  • Te joci cu o minge și o arunci pe diferite direcții: în sus, în jos, pe oblică. Mingea se deplasează pe direcția pe care ai împins-o tu cu o anumită forță. Ca să știi totul despre forța cu care tu acționezi asupra mingiei, în afară de valoarea numerică a forței tale, de unitatea de măsură, mai trebuie să spui și pe ce direcție și în ce sens ai aruncat-o.
  • Doi băieți trag de o mașinuță în sensuri opuse și , surpriză, mașinuța stă pe loc.
  • Dacă pleci din punctul 0 și te deplasezi spre est 6m (A), apoi spre nord 8m(B), apoi spre vest 15m (C), vei constata că în punctul C ești la 12m față de 0 și nu la 6m+8m+15m =29m.


Deci nu toate mărimile fizice sunt la fel, unele sunt scalare, altele vectoriale.

Definiţie

Mărimea fizică scalară (pe scurt, scalar) este mărimea care se caracterizează complet prin :

  • Valoare numerică;
  • Unitate de măsură.

Marea majoritatea mărimilor fizice sunt scalare: lungimea, aria, volumul, timpul, masa, densitatea, temperatura, intensitatea curentului electric, tensiunea electrică etc.

Definiţie

Mărimea fizică vectorială (pe scurt, vector) este mărimea care se caracterizează complet prin:

  • Valoare numerică (modul);
  • Unitate de măsură;
  • Orientare:
    • Direcție;
    • Sens.

Pentru a diferenția un scalar de un vector, mărimii vectoriale i se pune deasupra simbolului, o săgetuță.

Exemple de mărimi vectoriale:



Cuvântul scalar derivă din latinescul scalaris, o formă adjectivală a lui scala (termen latin care înseamnă „scară”). Dacă ordonezi mai mulți țăruși după înălțimea lor, arată ca o scară.

Cuvântul vector provine din latină, în care înseamnă purtător.

Observaţie

În continuare vei afla cum se lucrează cu vectori, întrucât ei se adună altfel decât scalarii (aceștia din urmă, având numai valoare numerică, fără orientare, se adună ca orice numere). Atât în programa școlară, cât și în manual, operațiile cu vectori sunt amestecate cu diferite tipuri de forțe, în următorul capitol nr. II. Eu am sistematizat diferit materia și voi da în continuare reprezentarea grafică a unui vector și operațiile cu vectori.



I.4. Reprezentarea grafică a unui vector.

Pentru a reprezenta grafic un vector trebuie desenat:

  • Un punct de aplicație, numit originea vectorului și notat cu 0.
  • Direcția vectorului, care este dată de o dreaptă.
  • Cu ajutorul unui etalon, se măsoară cu rigla valoarea (modulul) vectorului.
  • Sensul vectorului care este dat de o săgeată.

Să recapitulăm direcțiile spațiului, care sunt o infinitate. Dintre acestea, două sunt principale: verticala și orizontala, restul până la o infinitate sunt diferite direcții oblice cu orizontala, respectiv verticala.

Definiţie

Direcția orizontală este direcția dată de suprafața unui lichid dintr-un vas în repaus. Ea are două sensuri: spre dreapta și spre stânga.



Definiţie

Direcția verticală este direcția dată de direcția unui fir cu plumb, lăsat liber. Ea are două sensuri: în sus și în jos.



Observaţie

Direcția verticală este perpendiculară pe cea orizontală.

Direcția oblică se desenează cu ajutorul raportorului. Se așază linia raportorului (cea care unește 0° cu 180°) pe direcția principală (verticală sau orizontală), cu mijlocul ei în punctul 0 al vectorului și de la direcția respectivă se măsoară unghiul direcției oblice cu cea principală.

Definiţie

Direcția est-vest (E-V) este direcția dată de mersul Soarelui pe bolta cerească de la răsărit (E) la apus (V). Ea are două sensuri: spre est (dreapta) și spre vest (stânga). Ea se reprezintă pe orizontală.

Definiţie

Direcția nord-sud (N-S) este direcția dată de orientarea unui magnet lăsat liber (suspendat de un fir, de un ac sau pe apă). Ea are două sensuri : spre N (în sus) și spre S (în jos). Ea se reprezintă pe verticală.

Problema model 1: Reprezintă grafic următorii vectori:

a) Un călător se deplasează 10 km, pe o șosea dreaptă, spre est.

Rezolvare:

d = 10km, direcție orizontală, sensul spre dreapta.

Etalon: 1cm = 2km

  • Ca să punem punctul de aplicație trebuie să vedem sensul vectorului. Acesta fiind spre dreapta, vom pune 0 în stânga paginii.
  • Ca să aflăm lungimea segmentului vectorului împărțim valoarea (modulul) vectorului la etalon: 10 : 2 = 5cm.
  • Desenăm un segment de 5cm pe orizontală și în vârf îi punem săgeata care arată sensul lui. Lângă săgeată notăm vectorul.
Problema model 1: Reprezintă grafic următorii vectori:

b) Un corp este aruncat cu o viteză de 120 km/h, pe verticală, în jos.

Rezolvare:

Deci, v = 120km/h, direcție verticală, sensul în jos.

Etalon: 1cm = 40km/h

  • Ca să punem punctul de aplicație trebuie să vedem sensul vectorului. Acesta fiind în jos, vom pune 0 în susul paginii.
  • Ca să aflăm lungimea segmentului vectorului împărțim valoarea (modulul) vectorului la etalon: 120 : 40 = 3cm
  • Desenăm un segment de 3cm pe verticală și în vârf îi punem săgeata care arată sensul lui. Lângă săgeată notăm vectorul.
Problema model 1: Reprezintă grafic următorii vectori:

c) Asupra unui corp acționează o forță de 1800N, pe o direcție ce face un unghi de 50° cu verticala, în sus.

Rezolvare:

Deci, F = 1800N, direcție cu un unghi de 50° cu verticala, sensul în sus. Etalon: 1cm = 300 N

  • Ca să punem punctul de aplicație trebuie să vedem sensul vectorului. Acesta fiind în sus, vom pune 0 în josul paginii.
  • Ca să aflăm lungimea segmentului vectorului împărțim valoarea (modulul) vectorului la etalon: 1800 : 300 = 6cm
  • Desenăm punctată direcția principală, punem linia raportorului pe ea, cu mijlocul ei în 0 și măsurăm unghiul de 50° cu verticala. Pe această direcție oblică desenăm un segment de 6cm și în vârf îi punem săgeata care arată sensul lui. Lângă săgeată notăm vectorul.
Problema model 1: Reprezintă grafic următorii vectori:

d) Un corp se deplasează accelerat cu o accelerație de 42m/s2, pe o direcție ce face un unghi de 30° cu orizontala, în sus.

Rezolvare:

Deci, a = 42m/s2, direcție cu un unghi de 30° cu orizontala, sensul în sus. Etalon: 1cm = 6m/s2

  • Ca să punem punctul de aplicație trebuie să vedem sensul vectorului. Acesta fiind în sus, vom pune 0 în josul paginii.
  • Ca să aflăm lungimea segmentului vectorului împărțim valoarea (modulul) vectorului la etalon: 42 : 6 = 7cm
  • Desenăm punctată direcția principală, punem linia raportorului pe ea, cu mijlocul ei în 0 și măsurăm unghiul de 30° cu orizontala. Pe această direcție oblică desenăm un segment de 7cm și în vârf îi punem săgeata care arată sensul lui. Lângă săgeată notăm vectorul.
Problemă model

2. Care dintre următoarele mărimi fizice sunt scalare, respectiv vectoriale ?

  • Aria (S) – scalar
  • Timpul (t) – scalar
  • Accelerația (a) – vector
  • Forța de frecare (Ff) – vector
  • Temperatura (T) - scalar
  • Forța de greutate (G) – vector
  • Deplasarea (d) - vector


I.5. Adunarea (compunerea) vectorilor.

Definiţie

A aduna (a compune) doi (F1 și F2) sau mai mulți vectori înseamnă a le determina vectorul rezultant (F) .

Ecuația vectorială este:



Pentru a compune vectorii avem două cazuri:

I.5.1. Compunerea vectorilor coliniari.

Definiţie

Vectorii coliniari sunt vectori care au aceeaşi direcţie.

1. Dacă vectorii coliniari au același sens (unghiul dintre ei este de 0°) atunci vectorul rezultant are:

  • valoarea numerică egală cu suma valorilor numerice a vectorilor componenți
  • direcția comună cu vectorii componenți
  • sensul comun cu vectorii componenți.
Observaţie

Este la fel ca la adunarea algebrică a numerelor cu același semn (numerele se adună și la rezultat se trece semnul comun).

2. Dacă vectorii coliniari au sensuri opuse (unghiul dintre ei este de 180°) atunci vectorul rezultant are:

  • valoarea numerică egală cu diferența valorilor numerice a vectorilor componenți (se scade din cel cu valoarea mai mare cel cu valoare mai mică)
  • direcția comună cu vectorii componenți
  • sensul vectorului cu valoare mai mare.
Observaţie

Este la fel ca la adunarea algebrică a numerelor cu semne diferite (numerele se scad, cel cu valoare mai mare minus cel cu valoare mai mică și la rezultat se trece semnul numărului mai mare)

Observaţie

La matematică ai învățat că un sistem de coordonate cartezian în două dimensiuni este definit de obicei de două axe în unghi drept una cu cealaltă, formând un plan. Axa orizontală este în mod normal etichetată Ox, și axa verticală este notată cu Oy. Punctul de intersecție a axelor se numește origine și se notează cu O. Pentru a specifica un anume punct pe un sistem de coordonate bidimensional, se indică întâi unitatea x (abscisa), urmată de unitatea y (ordonata).

Observaţie

Convențional, intersecția celor două axe dă naștere la patru regiuni, denumite cadrane, notate cu numerele romane I (+,+), II (−,+), III (−,−) și IV (+,−). În primul cadran, ambele coordonate sunt pozitive, în al doilea cadran abscisele sunt negative și ordonatele pozitive, în al treilea cadran ambele coordonate sunt negative iar in al patrulea cadran, abscisele sunt pozitive iar ordonatele negative.



Problemă model

1. Doi copii trag de o sanie pe un drum orizontal, spre vest, cu forțele F1 = 400N, respectiv F2 = 800N. Compune cele două forțe ale copiilor.

Rezolvare:

Vectorul rezultant are:

  • valoarea numerică egală cu suma valorilor numerice a vectorilor componenți, adică F = F1 + F2 = 400N + 800N = 1200N
  • direcția comună cu vectorii componenți: orizontală
  • sensul comun cu vectorii componenți: spre stânga.

Pentru a reprezenta vectorul rezultant trebuie să ne alegem un etalon corespunzător, astfel încât să avem loc de desen pe pagina caietului.

Etalon: 1cm = 200N

Segmentul vectorului rezultant este de 1200:200 = 6 cm.

Problemă model

2. Asupra resortului unui dinamometru suspendat de un suport, acționează două forțe, una de 60 N, pe verticală în jos, cealaltă de 150 N, pe verticală în sus. Ce forță indică dinamometrul ?

Rezolvare:

Vectorul rezultant are:

  • valoarea numerică egală cu diferența valorilor numerice a vectorilor componenți, adică F = F2 – F1 = 150N – 60N = 90N
  • direcția comună cu vectorii componenți: verticală
  • sensul vectorului cu valoare mai mare: în sus.

Pentru a reprezenta vectorul rezultant trebuie să ne alegem un etalon corespunzător, astfel încât să avem loc de desen pe pagina caietului.

Etalon: 1cm = 30N.

Segmentul vectorului rezultant este de 90:30 = 3 cm.

Problemă model

3. Asupra unui dinamometru acționează două forțe, una de 150 N pe o direcție verticală, sensul în sus. Dinamometrul indică o forță de 90 N, resortul lui fiind alungit pe verticală, în jos. Desenează cea de-a doua forță care acționează asupra resortului dinamometrului.

Rezolvare:

Etalon: 1cm = 60N.

Scriem ecuația vectorială:

Scriem ecuația scalară ținînd cont de convenția de semne :

-90N = 150N + F2 (F se ia cu minus, fiincă este pe verticală în jos, iar F1 se ia cu plus, fiincă este pe verticală în sus)

F2 = -90N -150N = -240N . Rezultă că F2 are un segment de 240 : 60 = 4cm, pe o direcție verticală, sensul în jos (deoarece ne-a dat cu semnul minus).

I.5.2. Compunerea vectorilor necoliniari.

Definiţie

Vectorii necoliniari sunt vectori care nu au aceeaşi direcţie.

Compunerea vectorilor necoliniari (care nu au aceeași direcție) se realizează după două reguli: Regula paralelogramului şi Regula poligonului.

I.5.2.1. Regula paralelogramului.

Regula paralelogramului se folosește pentru adunarea a doi vectori necoliniari concurenți (care au același punct de aplicație), parcurgând următoarele patru etape:

  • Se desenează ce doi vectori astfel încât să aibă același punct de aplicație.
  • Cu segmentele celor 2 vectori, se formează un paralelogram (patrulater cu laturile opuse paralele și egale ).
  • Se trasează diagonala paralelogramului care are punct comun cu cei doi vectori. Acest segment reprezintă vectorul rezultant , care se notează și i se pune săgeată în capăt.
  • Cu rigla măsurăm segmentul vectorului rezultant și cu regula de trei simplă, aflăm valoarea lui numerică.
Problemă model

1. Un râu curge spre est cu o viteză de 60km/h. O barcă merge pe râu în sensul lui de curgere cu viteza de 100km/h, pe o direcție ce face un unghi de 30° față de malul râului. Care este viteza bărcii față de mal? Reprezintă grafic la scara: 1cm = 20 km/h.

Rezolvare:

v1 = 60km/h, direcție orizontală, sensul spre dreapta

v2 = 100km/h, direcție ce face un unghi de 30° cu orizontala, în sus.

Etalon: 1cm = 20 km/h.


I.5.2.2. Regula poligonului.

Regula poligonului se folosește pentru adunarea mai multor vectori necoliniari neconcurenți (care nu au același punct de aplicație), parcurgând următoarele etape:

  • Se desenează primul vector.
  • Al doilea vector se desenează cu originea în vârful primului vector, păstrându-i direcția.
  • Al treilea vector se desenează cu originea în vârful celui de-al doilea vector, păstrându-i direcția ș.a.m.d. până reprezentăm toți vectorii.
  • Vectorul rezultant este segmentul care se obține prin unirea originii primului vector (0) cu vârful ultimului vector, având vârful în vârful ultimului vector.
  • Valoarea vectorului rezultant o obținem prin măsurarea segmentului său cu rigla și apoi înmulțim cu etalonul dat (ales).
Problemă model

1. Un biciclist merge către est 20km, apoi către sud 40km, apoi către vest 80km și către nord 60km. Determină vectorul rezultant, adică la ce distanță a ajuns biciclisul față de reper (0).

Rezolvare:

d1 = 20km, direcție orizontală, spre dreapta

d2 = 40km, direcție verticală, în jos

d3 = 80km, direcție orizontală, spre stânga

d4 = 60km, direcție verticală, în sus

Etalon: 1cm = 10 km.

  • Reprezentăm primul vector deplasare d1. Al II-lea vector îi punem punctul de aplicație în vârful primului, ș.a.m.d. până reprezentăm toți cei patru vectori.

  • Vectorul rezultant este segmentul care se obține prin unirea originii(0) cu vârful ultimului vector, având vârful în vârful ultimului vector.

  • Valoarea vectorului rezultant o obținem prin măsurarea segmentului său cu rigla și apoi înmulțim cu etalonul dat : d = 6,3 ∙ 10 = 63 km. Deci biciclistul se află la o distanță de 63km față de punctul de plecare, după toată cursa.


I.6. Descompunerea unui vector.

I.6.1. Descompunerea unui vector după două direcții reciproc perpendiculare.

Descompunerea unui vector după două direcții reciproc perpendiculare se realizează astfel:

  • Din vârful vectorului dat se duc perpendiculare pe cele două direcții Ox și Oy.
  • Scriem ecuația vectorială:


  • Scriem ecuația scalară:



Observaţie

Descompunerea unui vector după două direcții reciproc perpendiculare este inversă compunerii a doi vectori necoliniari și concurenți, cu regula paralelogramului, cu precizarea că vectorii componenți sunt pe cele două direcții principale : Fx pe orizontală și Fy pe verticală. Asfel obținem un dreptunghi care are ca laturi segmentele forțelor componente.

Problemă model

1. Laurențiu bate un cui cu ciocanul cu o forță de 500N într-un perete, ținând cuiul înclinat față de perete cu un unghi α = 38°. Ce valoare au forțele care compun forța lui Laurențiu ?

Rezolvare:

F = 500 N, direcție ce face un unghi de 38° cu verticala.

Putem afla cele două forțe prin metoda grafică.

Etalon: 1cm = 100N

  • 500N : 100N = 5cm reprezintă segmentul forței F și o desenăm.
  • Din vârful vectorului F se duc perpendiculare pe cele două direcții Ox și Oy. Măsurăm cu rigla segmentele vectorilor componenți și înmulțim cu etalonul pentru a le afla valorile.
    • Fx = 3∙100 = 300N
    • Fy = 4∙100 = 400N


  • Scriem ecuația vectorială:


  • Verificăm cu teorema lui Pitagora:
    • Scriem ecuația scalară:


  • 5002 =3002 + 4002
  • 250000 = 90000 +160000


I.6.2. Descompunerea unui vector după două direcții date.

Descompunerea unui vector după două direcții date Δ1 și Δ2 se realizează în felul următor:

  • Din vârful vectorului se duc paralele la cele două direcții date.
  • Scriem ecuația vectorială:


  • Scriem ecuația scalară:



Observaţie

Descompunerea unui vector după două direcții date este inversă compunerii a doi vectori necoliniari și concurenți, cu regula paralelogramului.



I.7. Sinteză recapitulativă - Vectori. Compunerea vectorilor.

important

Mărimea fizică scalară (pe scurt, scalar) este mărimea care se caracterizează complet prin :

  • Valoare numerică;
  • Unitate de măsură.

Marea majoritate a mărimilor fizice sunt scalare: lungimea, aria, volumul, timpul, masa, densitatea, temperatura, intensitatea curentului electric, tensiunea electrică, etc.

Mărimea fizică vectorială (pe scurt, vector) este mărimea care se caracterizează complet prin:

  • Valoare numerică (modul);
  • Unitate de măsură;
  • Orientare:
    • Direcție;
    • Sens.

Pentru a diferenția un scalar de un vector, mărimii vectoriale i se pune deasupra simbolului, o săgetuță.

Mărimile vectoriale:



Reprezentarea grafică a unui vector.

Pentru a reprezenta grafic un vector trebuie desenat:

  • Un punct de aplicație, numit originea vectorului și notat cu 0.
  • Direcția vectorului, care este dată de o dreaptă.
  • Cu ajutorul unui etalon, se măsoară cu rigla valoarea (modulul) vectorului.
  • Sensul vectorului care este dat de o săgeată.

Să recapitulăm direcțiile spațiului, care sunt o infinitate. Dintre acestea, două sunt principale: verticala și orizontala, restul până la o infinitate sunt diferite direcții oblice, cu orizontala, respectiv verticala.

Direcția orizontală este direcția dată de suprafața unui lichid dintr-un vas în repaus. Ea are două sensuri: spre dreapta și spre stânga.

Direcția verticală este direcția dată de direcția unui fir cu plumb, lăsat liber. Ea are două sensuri: în sus și în jos.

Direcția verticală este perpendiculară pe cea orizontală.

Direcția oblică se desenează cu ajutorul raportorului. Se așază linia raportorului (cea care unește 0° cu 180°) pe direcția principală (verticală sau orizontală), cu mijlocul ei în punctul 0 al vectorului și de la direcția respectivă se măsoară unghiul direcției oblice cu cea principală.

Direcția est-vest (E-V) este direcția dată de mersul Soarelui pe bolta cerească de la răsărit (E) la apus (V). Ea are două sensuri: spre est (dreapta) și spre vest (stânga). Ea se reprezintă pe orizontală.

Direcția nord-sud (N-S) este direcția dată de orientarea unui magnet lăsat liber (suspendat de un fir, de un ac sau pe apă). Ea are două sensuri : spre N (în sus) și spre S (în jos). Ea se reprezintă pe verticală.


Adunarea (compunerea) vectorilor.

A aduna (a compune) doi (F1 și F2) sau mai mulți vectori înseamnă a le determina vectorul rezultant (F) .

Ecuația vectorială este:

Pentru a compune vectorii avem două cazuri:

I. Compunerea vectorilor coliniari (care au aceeași direcție) .

A. Dacă vectorii coliniari au același sens (unghiul dintre ei este de 0°) atunci vectorul rezultant are:

  • valoarea numerică egală cu suma valorilor numerice a vectorilor componenți
  • direcția comună cu vectorii componenți
  • sensul comun cu vectorii componenți.

B. Dacă vectorii coliniari au sensuri opuse (unghiul dintre ei este de 180°) atunci vectorul rezultant are:

  • valoarea numerică egală cu diferența valorilor numerice a vectorilor componenți (se scade cel cu valoarea mai mare minus cel cu valoare mai mică)
  • direcția comună cu vectorii componenți
  • sensul vectorului cu valoare mai mare.

La matematică ai învățat că un sistem de coordonate cartezian în două dimensiuni este definit de obicei de două axe în unghi drept una cu cealaltă, formând un plan.

Axa orizontală este în mod normal etichetată Ox, și axa verticală este notată cu Oy.

Punctul de intersecție a axelor se numește origine și se notează cu O. Pentru a specifica un anume punct pe un sistem de coordonate bidimensional, se indică întâi unitatea x (abscisa), urmată de unitatea y (ordonata).

Convențional, intersecția celor două axe dă naștere la patru regiuni, denumite cadrane, notate cu numerele romane I (+,+), II (−,+), III (−,−) și IV (+,−).

În primul cadran, ambele coordonate sunt pozitive, în al doilea cadran abscisele sunt negative și ordonatele pozitive, în al treilea cadran ambele coordonate sunt negative iar in al patrulea cadran, abscisele sunt pozitive iar ordonatele negative.



II. Pentru compunerea vectorilor necoliniari (care nu au aceeaşi direcţie) avem 2 reguli:

II.1 Pentru adunarea a doi vectori necoliniari concurenți (care au același punct de aplicație) se folosește regula paralelogramului, parcurgând următoarele patru etape:

  • Se desenează ce doi vectori astfel încât să aibă același punct de aplicație.

  • Cu segmentele celor 2 vectori, se formează un paralelogram (patrulater cu laturile opuse paralele și egale).

  • Se trasează diagonala paralelogramului care are punct comun cu cei doi vectori. Acest segment reprezintă vectorul rezultant, care se notează și i se pune săgeată în capăt.

  • Cu rigla măsurăm segmentul vectorului rezultant și cu regula de trei simplă, aflăm valoarea lui numerică.

II.2. Pentru adunarea mai multor vectori necoliniari neconcurenți (care nu au același punct de aplicație) se folosește regula poligonului, parcurgând următoarele etape:

  • Se desenează primul vector.

  • Al doilea vector se desenează cu originea în vârful primului vector, păstrându-i direcția.

  • Al treilea vector se desenează cu originea în vârful celui de-al doilea vector, păstrându-i direcția ș.a.m.d. până reprezentăm toți vectorii.

  • Vectorul rezultant este segmentul care se obține prin unirea originii primului vector (0) cu vârful ultimului vector, având vârful în vârful ultimului vector.

  • Valoarea vectorului rezultant o obținem prin măsurarea segmentului său cu rigla și apoi înmulțim cu etalonul dat (ales).



I.8. Test de autoevaluare - Vectori. Compunerea vectorilor.

Test de autoevaluare - Vectori. Compunerea vectorilor.

1) Reprezintă unui vector d = 20 m, pe o direcție orizontală, spre stânga, folosind ca etalon 1 cm = 5 m. -1p


2) Reprezintă forța de 600 N cu care Ionuț bate cu ciocanul un cui în perete, pe o direcție ce face un unghi de 30° cu peretele, folosind ca etalon 1cm=100N. -1p


3 Asupra unui corp acționează două forțe. Se cunosc: F1 = 400 N, care acționează pe orizontală, spre stânga și forța rezultantă, F = 200 N, pe direcție orizontală, spre stânga. Reprezintă grafic forța F2. -2p


4) Compune următorii doi vectori concurenți: -2p

F1 = 180 N, direcție ce face un unghi de 40° cu verticala, în sus

F2 = 120 N, direcție verticală în sus

1cm = 30 N


5) Un călător merge spre nord 10km, apoi spre vest 60km, apoi spre sud 40 km și în final spre est 80 km. Determină vectorul rezultant. -2p


Oficiu -2p