III.1.3. Elemente de cinematica punctului material.
- III.1.3.1. Vectorul de poziție.
- III.1.3.2. Viteza medie și momentană.
- III.1.3.3. Accelerația medie și accelerația momentană.
- III.1.3.4. Tipuri de mișcări după traiectorie și viteză.
- III.1.3.5. Mișcarea rectilinie uniformă.
- III.1.3.6. Mișcarea rectilinie uniform variată.
- III.1.3.7. Mișcarea circulară uniformă.
III.1.3.1. Vectorul de poziție.
🔓 Problemă rezolvată
1. Un călător pleacă din origine și parcurge 500 m spre est, apoi merge spre sud 200 m, apoi spre vest 800 m și în final se deplasează spre nord 300 m, ajungând în punctul M față de originea (O). Se cere :
a) Determină vectorul rezultant al celor 4 vectori deplasare.
b) Determină coordonatele vectorului de poziție rezultant față de originea (O) și modulul acestui vector.
c) Cum este modulul vectorului de poziție rezultant față de distanța parcursă de călător ?
Rezolvare:
a) Trasăm un sistem de coordonate alegând axa Ox pe direcția E-V și axa Oy pe direcția N-S.
Reprezentăm grafic cei 4 vectori deplasare și îi compunem cu regula poligonului.
b)
c) Calculăm distanța parcursă de călător:
d = 500 m + 200 m + 800 m + 300 m = 1800 m
Observăm că d > r.
III.1.3.2. Viteza medie și momentană.
Viteza medie (vm) este mărimea fizică egală cu raportul dintre deplasarea mobilului (d) și durata mișcării (Δt).
1) Formulă de calcul:
2) Unitate de măsură în S.I.:
Vitezometrul aflat la bordul tuturor mașinilor este un instrument de măsură pentru viteza momentană.
Viteza momentană este viteza mobilului la un anumit moment indicată de vitezometru.
De exemplu, o mașină merge cu o viteză medie de 70 km/h pe o porțiune de drum. Asta nu înseamnă că tot drumul mașina a avut această viteză. Vitezometrul poate a indicat chiar și 140 km/h sau 20 km/h.
Viteza medie nu este media aritmetică a vitezelor momentane ale mobilului.
Vom studia viteza medie și momentană a unui mobil pentru două cazuri: mișcarea rectilinie și mișcarea curbilinie.
I. Mișcarea rectilinie (pe o singură axă de coordonată)
Viteza medie a punctului material este dată de relația :
Ecuația vectorială a vitezei medii este:
Pentru a obține relația vitezei momentane plecând de la viteza medie, trebuie să considerăm durata mișcării foarte mică, tinzând către zero.
Dacă Δt→0, atunci și deplasarea Δx→0. Pentru a nu confunda relația vitezei medii cu cea a vitezei instantanee (la un moment dat), vom nota pe Δx→0 cu dx și pe Δt→0 cu dt.
Viteza momentană a punctului material este dată de relația:
🔦 Observație
Viteza are același semn ca și deplasarea, deoarece Δt este totdeauna pozitiv. Viteza este pozitivă dacă mobilul se mișcă în sensul pozitiv al axei (Δx > 0, vm > 0) și este negativă dacă mobilul se mișcă în sensul negativ al axei (Δx < 0, vm < 0).
II. Mișcarea curbilinie
Dacă împărțim această ecuație prin Δt, obținem:
În cazul mișcării curbilinii plane, viteza medie a punctului material este:
În cazul mișcării curbilinii plane, viteza momentană a punctului material este:
III.1.3.3. Accelerația medie și accelerația momentană.
Mișcarea rectilinie uniformă este posibilă în viața de zi cu zi, numai pe porțiuni mici de autostradă.
În cazul mișcărilor reale viteza mobilelor crește sau scade în timp, datorită semafoarelor, curbelor, trecerilor de pietoni, limitărilor de viteză.
Toate mașinile au o pedală de accelerație și una de frână.
Pentru a caracteriza variația vectorului viteză, atât în mod, cât și a orientării lui, s-a introdus noțiunea de accelerație.
Vectorul accelerație este îndreptat spre centrul traiectoriei, normal pe aceasta, fiind numită accelerație normală (radială).
Vectorul accelerație instantanee (an) se obține prin trecerea la limită a relației accelerației medii (Δt→0), fiind numit accelerație normală (radială), deoarece este orientat normal pe traiectorie :
III.1.3.4. Tipuri de mișcări după traiectorie și viteză.
III.1.3.5. Mișcarea rectilinie uniformă.
Mișcarea rectilinie uniformă (MRU) este mișcarea în care traiectoria este o linie dreaptă și viteza constantă în modul, direcție și sens.
În mișcarea rectilinie uniformă :
- Mobilul parcurge distanțe egale în intervale de timp egale.
- Viteza momentană este egală cu viteza medie.
- Viteza își păstrează valoarea numerică, direcția și sensul mișcării.
Pentru a determina legea mișcării rectilinii uniforme, plecăm de la formula vitezei, notând cu x0 = poziția inițială, cu x = poziția finală, cu t0 = momentul inițial și cu t = momentul final.
Legea mișcării rectilinii uniforme:
x = x0 + v(t - t0) când mobilul se depărtează de reper
x = x0 - v(t - t0) când mobilul se apropie de reper.
Legea vitezei în MRU pe axa x este:
Legea accelerației în MRU este:
🔦 Observație importantă
Graficul mișcării rectilinii uniforme este o linie dreaptă, deoarece x = f(t) este o funcție de gradul I în timp.
Dacă notăm cu α unghiul făcut de grafic cu abscisa (axa timpului), putem deduce viteza corpului din panta graficului. Avem două cazuri:
a) Când mobilul se îndepărtează de origine avem panta:
b) Când mobilul se apropie de origine avem panta:
🔓 Probleme rezolvate
1. O scară rulantă ridică un călător, aflat în repaus pe scară, în timpul t1 = 30 s. Când scara nu merge, călătorul urcă în timpul de t2 = 20 s. În cât timp (t) urcă călătorul pe scara mobilă (aflată în funcțiune)?
Rezolvare:
Notăm cu vs – viteza scării, vc – viteza călătorului față de scara imobilă (fixă) și cu v – viteza călătorului față de sol.
Viteza călătorului față de sol este v = vc + vs
Distanța parcursă de călător în cele trei cazuri este aceeași și egală cu lungimea scării:
d = vs ∙ t1 = vc ∙ t2 = v ∙ t
Calculăm timpul (t) în care călătorul urcă pe scara mobilă:
2. Avem următoarele două grafice. Determină ce fel de mișcare au cele două mobile și legile lor de mișcare.
Rezolvare:
Ambele mobile au o mișcare rectilinie uniformă, deoarece graficul x = f(t) este o funcție liniară de timp, fiind o linie dreaptă. Legea MRU este un polinom de gradul I în timp.
Scriem legea mișcării rectilinii uniforme:
x = x0 + v ∙ t când mobilul se depărtează de reper
x = x0 - v ∙ t când mobilul se apropie de reper
Pentru mobilul 1 (care se apropie de reper), intersecția graficului cu axa poziției (Ox) este în punctul 300 m, deci x01 = 300 m. Pentru a calcula viteza luăm două puncte pe grafic și ducem de la fiecare punct de pe grafic perpendiculare pe cele două axe pentru a afla Δx, respectiv Δt.
Δx = 100 m
Δt = 100 s
Calculăm viteza cu formula:
Înlocuim datele obținute din grafic în legea mișcării:
x = x0 - v ∙ t = 300 - 1 ∙ t
x = 300 - t
Pentru mobilul 2 (care se depărtează de reper), intersecția graficului cu axa poziției (Ox) este în punctul 0, deci x01 = 0.
Pentru a calcula viteza luăm două puncte pe grafic și ducem din aceste puncte perpendiculare pe cele două axe pentru a afla Δx, respectiv Δt.
Δx = 100 m
Δt = 50 s
Calculăm viteza cu formula :
Înlocuim datele obținute din grafic în legea mișcării:
x = x0 + v ∙ t = 0 + 2 ∙ t
x = 2 ∙ t
3. Două trenuri merg unul spre celălalt cu viteza de v1 = 64,8 km/h, respectiv v2 = 79,2 km/h. Un pasager din primul tren cronometrează un timp τ = 5 s în care vede al doilea tren trecând prin dreptul său. Care este lungimea trenului al doilea?
Rezolvare:
Scriem datele problemei și le transformăm în SI:
v1 = 64,8 km/h = 18 m/s (împărțim valoarea vitezei în km/h la 3,6)
v2 = 79,2 km/h = 22 m/s
Față de călătorul din primul tren, trenul al II-lea are o viteză relativă de v1 + v2.
Dacă pasagerul din primul tren cronometrează un timp τ în care vede al doilea tren trecând prin dreptul său, înseamnă că lungimea trenului al doilea este:
4. Un punct material se află în poziția inițială în punctul P1 de coordonate: 8 m și 6 m. El se mișcă rectiliniu uniform cu o viteză de 4 m/s, paralel cu axa Ox. După un interval de timp de 3 s ajunge în punctul P2. Reprezintă vectorii de poziție ai punctului material în cele două puncte și determină modulele lor.
Rezolvare:
- Reprezentăm grafic cei doi vectori de poziție:
5. Două mobile care se deplasează pe aceeași direcție au următoarele ecuații de mișcare:
x1 = 3t, respectiv x2 = 10 – 2t. Determină timpul lor de întâlnire și locul de întâlnire.
Rezolvare:
Scriem condiția de întâlnire pentru cele două mobile :
x1 = x2
3t = 10 – 2t
5t = 10
t = 2 s
Pentru a calcula locul de întâlnire, înlocuim timpul t într-una dintre ecuațiile de mișcare:
x1 = x2 = 3 ∙ 2 = 6 m
III.1.3.6. Mișcarea rectilinie uniform variată.
Mișcarea rectilinie uniform variată este mișcarea unui mobil pe o traiectorie rectilinie și cu vectorul accelerație instantanee constant în modul, direcție și sens.
Mișcarea rectilinie uniform variată este de două feluri: mișcarea rectilinie uniform accelerată și mișcarea rectilinie uniform decelerată.
Un mobil are o mișcare rectilinie uniform accelerată atunci când modulul vitezei lui crește în timp.
Iată cum arată pozițiile unui mobil la intervale de timp egale în mișcarea rectilinie uniform accelerată:
În mișcarea rectilinie uniform accelerată :
- Mobilul parcurge distanțe din ce în ce mai mari, în intervale de timp egale.
- Accelerația momentană este egală cu accelerația medie, fiind constante.
- Accelerația și viteza au aceeași direcție și sens, ca și cel al mișcării.
Exemplu de MRUA
Cel mai cunoscut exemplu de mișcare rectilinie uniform accelerată este căderea liberă a corpurilor pe Pământ.
Toate corpurile cad spre Pământ cu o accelerație constantă, numită accelerație gravitațională, g = 9,81 m/s2. Când corpul cade liber, viteza inițială a acestuia este v0 = 0 m/s.
Legea accelerației în MRUA este:
Legea vitezei în MRUA este:
🔦 Observație importantă:
Deoarece în MRUA, în intervalul de timp [t0, t], viteza mobilului crește liniar cu timpul, se poate calcula viteza medie (vm) ca medie aritmetică a valorii acesteia la momentele 0 și t, adică:
Legea spațiului în MRUA:
Când avem cazul particular t0 = 0, legea spațiului devine:
Când avem cazul particular t0 = 0, v0 = 0 și x0 = 0, legea spațiului devine:
🔦 Observație
Legea spațiului în MRUA se obține egalând definiția generală a vitezei medii cu expresia vitezei medii în MRUA:
Formula lui Galilei ne permite să calculăm viteza mobilului pentru orice poziție a sa:
v2 = v02 + 2a (x - x0)
Cazuri particulare:
a) Dacă mobilul pleacă chiar din reper (din O - originea coordonatelor), x0 = 0, la t = 0, atunci avem relația:
v2 = v02 + 2ax
b) Dacă și v0 = 0, adică mobilul pleacă din repaus, la t = 0, avem :
v2 = 2ax
🔦 Observație
Formula lui Galilei se obține astfel:
- scoatem timpul din ecuația vitezei:
- introducem timpul în legea spațiului și scoatem viteza din ecuația finală :