II.1.7. Mișcarea circulară uniformă
Mișcarea circulară este mișcarea unui mobil care are traiectoria un arc de cerc în jurul unei axe.
Mișcarea circulară uniformă (MCU) are loc când viteza punctului material este constantă în modul, adică mobilul descrie arce de cerc egale în intervale de timp egale.
Legea accelerației în MCU este:
Legea vitezei în MCU este:
Legea spațiului liniar în MCU este:
Mișcarea circulară uniformă se mai poate descrie și prin viteza unghiulară (ω) și spațiul unghiular (α).
Se observă în figura MCU că, luând OA ca axă de referință, mobilul aflat în P0 la momentul t0 este localizat de raza vectoare OP0, care face unghiul α0 cu OA.
La momentul t, mobilul ajunge în punctul P, localizat de raza vectoare OP, care face unghiul α cu OA. Deci, mobilul a parcurs spațiul unghiular (numit și unghiul la centru) Δα = α2 – α1, în intervalul Δt = t2 – t1.
Viteza unghiulară medie (ωm) este spațiul unghiular descris de raza vectoare în unitatea de timp și este dată de relația:
Legea spațiului unghiular este:
α(t)= α0 + ω(t - t0)
Cazuri particulare:
când t0 = 0 și α0 = 0 (mobilul pleacă din punctul A) avem:
α = ωt
Legătura dintre viteza tangențială v și viteza unghiulară ω:
Radianul este un unghi la centru care subîntinde un arc de cerc egal cu raza cercului. Cum unghiul total are 360°, el subîntinde toată lungimea cercului care cuprinde 2π raze. Deci, unghiul de 360° are 2π radiani.
1 rad = 360°/ 2π
Viteza unghiulară instantanee (ω) se obține la limita pentru t2 → t1 și este dată de relația:
Deoarece mișcarea este uniformă avem **ωm = ω.
Mișcarea circulară uniformă este o mișcare periodică, deoarece se repetă identic după parcurgerea întregului cerc, la intervale egale.
Perioada mișcării circulare uniforme este intervalul de timp în care mobilul realizează o rotație completă, parcurgând circumferința cercului, de lungime 2πR. În acest interval de timp spațiul unghiular descris de poziția inițială și cea finală este de 2π radiani (360°).Ea se măsoară în secunde.
Frecvența de rotație reprezintă numărul de rotații complete (n) efectuate într-un anumit interval de timp, Δt.
Frecvența se măsoară în s-1, adică în hertz (Hz).
Turația (n) este o frecvență de rotație măsurată în rot/min (1 rot/s = 60 rot/min).
Accelerația centripetă (normală) are expresia:
Ecuația vectorială ne dă accelerația centripetă atât ca mărime, cât și ca orientare (direcție și sens):
Viteza tangențială este egală cu produsul vectorial dintre viteza unghiulară (ω) și raza vectoare (R), adică :
Aplicând modulul în ambii membrii ai acestei ecuații, obținem:
1. Mișcarea proprie de rotație a Pământului în jurul propriei axe, având o perioadă de rotație de aproximativ 24 h. Deoarece raza de la centrul (O) până la suprafața Pământului scade de la ecuator spre cei doi poli, viteza tangențială depinde da latitudine (Pământul este o sferă turtită la poli și bombată la ecuator). Viteza tangențială este maximă la ecuator și scade până la zero la poli. În schimb, viteza unghiulară este aceeași pentru toate punctele de pe suprafața Pământului.
Pământul se rotește spre est. Observat dinspre Steaua Polară, acesta se rotește în sens trigonometric, adică în sens antiorar.
Rotația Pământului în jurul propriei axe duce la schimbarea iluminării solare pe suprafața Pământului de la est la vest, adică la schimbarea zilei și a nopții.
Rotația Pământului în jurul propriei axe a devenit un adevăr incontestabil când fizicianul francez J. Foucault a efectuat faimosul său experiment, cu un imens pendul gravitațional, în Panteonul din Paris, în februarie 1851. Dovezile fizice ale rotației axiale a Pământului sunt măsurate și prin arcul de meridian de 1°, care se află la 110,6 km în apropierea ecuatorului și la 111,7 km în apropierea polilor. Aceste măsurători dovedesc comprimarea Pământului la poli, fiind caracteristică doar corpurilor în rotație.
2. Mișcarea acelor de ceasornic are loc cu perioade diferite. Perioada orarului este de 12 h, cea a minutarului este de 60 min și cea a secundarului de 60 s.
3. Mișcarea roților când se deplasează rectiliniu uniform, astfel încât toate punctele de pe roată se mișcă cu aceeași viteză unghiulară față de punctul de contact dintre roată și sol. În schimb viteza tangențială a punctelor de pe roată depinde de distanța punctului față de centrul roții.
4. Mișcarea roților unui carusel
5. Mișcarea unei elice (a ventilatorului, a morilor de vânt, a elicopterelor etc.), în care toate punctele de pe elice au aceeași viteză unghiulară, dar viteza tangențială a lor diferă în funcție de distanța până la centru de rotație.
6. Mișcarea unui scripete care se deplasează rectiliniu uniform
Punctele de pe extremitatea scripetelui au aceeași viteză tangențială (v) și aceeași viteză unghiulară (ω). Dacă R este raza scripetelui, atunci viteză unghiulară este
Legile particulare ale mișcărilor cu t0 = 0:
1. Care este perioada de rotație și viteza unghiulară a acelor unui ceas ?
Rezolvare:
a) Pentru orar avem:
b) Pentru minutar avem:
c) Pentru secundar avem:
2. Vârful minutarului unui ceas de perete s-a deplasat cu 1 cm pe cadranul său, într-un minut. Care este lungimea minutarului ?
Rezolvare:
Notăm datele problemei:
Δs = 1 cm = 0,01 m
Δt = 1 min = 60 s
T = 3600 s
R = ? (considerăm că lungimea acului minutar este egală cu raza ceasului)
Știm că lungimea cercului (2πR) este egală cu viteza tangențială (v) a acului înmulțită cu perioada de rotație (T) a acului minutar, adică:
2πR = v ∙ T
De asemenea viteza acului este:
Înlocuim viteza în relația: 2πR = v ∙ T și obținem:
Scoatem necunoscuta R, care este chiar lungimea minutarului:
3. Se dă următorul tabel cu date despre timpul la care un punct material se deplasează circular uniform și spațiul unghiular corespunzător:
Se cere :
a) Realizează graficul dependenței spațiul unghiular în radiani în funcție de timp.
b) Determină legea spațiului unghiular.
c) Viteza unghiulară.
d) Frecvența de rotație.
e) Perioada rotației.
Rezolvare:
a) Transformăm spațiile unghiulare (luate din tabel) din grade în radiani:
Realizăm graficul dependenței spațiul unghiular în radiani în funcție de timp:
b) Pentru a determina legea spațiului unghiular, pe graficul realizat la punctul a, de la unitatea timpului (1 s) ducem o dreaptă paralelă cu axa spațiului unghiular până întâlnim linia graficului și din acel punct ducem o dreaptă paralelă cu axa timpului până ne intersectăm cu axa spațiului. Observăm că la 1 s avem un spațiu unghiular de 5 rad.
Cum α = f(t) este o linie dreaptă, obținem legea spațiului unghiular :
α = 5t
c) Aplicăm formula vitezei unghiulare în funcție de spațiul unghiular și timp:
d) Frecvența de rotație este:
e) Perioada de rotație este:
4. O mașină de formula 1 cu viteza constantă în modul de 216 km/h se antrenează pe o pistă circulară cu raza de 100 m.
Se cere:
a) Viteza unghiulară a mașinii.
b) Perioada mișcării circulare uniforme.
c) Știind că diametrul roților este de 0,5 m, cât este frecvența de rotație a roților sale ?
Rezolvare:
Notăm datele problemei:
v = 216 km/h = 216/3,6 = 60 m/s
R = 100 m
D = 0,5 m (diametrul roții)
ω1 = ? (a mașinii)
T = ?
ν2 = ? (a roților mașinii)
a)
b)
c)
5. O mașină face un viraj de 90°, având o rază de 10 m într-un interval de timp de 1 s. Calculează viteza tangențială a mașinii.
Rezolvare:
Notăm datele problemei:
6. Calculează viteza unghiulară de rotație a Pământului, viteza liniară și accelerația centripetă a unui punct material de pe suprafața Pământului la latitudinea de 45°. Știm că Pământul efectuează o rotație completă la fiecare 23 h și 56 min și raza Pământului este de 6371 km.
Rezolvare:
Notăm datele problemei:
T = 23 h + 56 min = 23 ∙ 3600 s + 56 ∙ 60 s
T = 82800 s + 3360 s = 86160 s
Δα = 45°
R = 6371 km = 6371000 m
ω =?
v = ?
ac = ?
a)
b)
c)
