Probleme rezolvate
1.1. Cum se determină densitatea unui magnet
Materiale necesare:
3 magneți naturali de diferite dimensiuni, cântar sau balanță, cilindru gradat cu apă, riglă, hârtie milimetrică (foaie de matematică).
Descrierea experimentului:
- Cântărește, pe rând, fiecare magnet pentru a determina masa lui.
- Măsoară volumul fiecărui magnet cu cilindrul gradat.
- Completează datele în următorul tabel și prelucrează-le.
- Dă rezultatul măsurării:
- Reprezintă grafic masa corpului în funcție de volumul lui. Vei obține o linie dreaptă. Dacă îți alegi un punct arbitrar de pe dreaptă, vei afla masa corpului la un anumit volum al său. De exemplu pentru punctul roșu: avem m = 18,5 g și V = 4 cm3 .
Ce observi?
Pentru o anumită substanță, cu cât crește masa sa, cu atât crește și volumul său.
Concluzia experimentului:
Densitatea este o constantă pentru o anumită substanță, fiind egală cu raportul dintre masa și volumul corpului.
1.2. Verificarea experimentală a teoremei lui Pitagora.
Materiale necesare:
Riglă, hârtie milimetrică (foaie de matematică).
Descrierea experimentului:
- Desenează pe hârtia milimetrică trei triunghiuri dreptunghice de diferite dimensiuni.
- Măsoară, pentru fiecare, lungimea ipotenuzei (latura opusă unghiului drept) și a celor două catete.
- Completează datele în următorul tabel și prelucrează-le.
Ce observi?
Cu cât crește ipotenuza la pătrat, cu atât crește și suma pătratelor catetelor.
Concluzia experimentului:
Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor celor două catete.
1. Reprezintă grafic următorii vectori:
1.3.A. Un călător se deplasează 10 km, pe o șosea dreaptă, spre est.
Rezolvare:
d = 10 km, direcție orizontală, sensul spre dreapta.
Etalon:
1 cm : 2 km
Ca să punem punctul de aplicație trebuie să vedem sensul vectorului. Acesta fiind spre dreapta, vom pune 0 în stânga paginii.
Ca să aflăm lungimea segmentului vectorului împărțim valoarea (modulul) vectorului la etalon: 10 : 2 = 5 cm.
Desenăm un segment de 5 cm pe orizontală și în vârf îi punem săgeata care arată sensul lui. Lângă săgeată notăm vectorul.
1.3.B. Un corp este aruncat cu o viteză de 120 km/h, pe verticală, în jos.
Rezolvare:
Deci, v = 120 km/h, direcție verticală, sensul în jos.
Etalon: 1 cm : 40 km/h
Ca să punem punctul de aplicație trebuie să vedem sensul vectorului. Acesta fiind în jos, vom pune 0 în susul paginii.
Ca să aflăm lungimea segmentului vectorului împărțim valoarea (modulul) vectorului la etalon: 120 : 40 = 3 cm.
Desenăm un segment de 3 cm pe verticală și în vârf îi punem săgeata care arată sensul lui. Lângă săgeată notăm vectorul.
1.3.C. Asupra unui corp acționează o forță de 1800 N, pe o direcție ce face un unghi de 50° cu verticala, în sus.
Rezolvare:
Deci, F = 1800 N, direcție cu un unghi de 50° cu verticala, sensul în sus.
Etalon: 1 cm : 300 N
Ca să punem punctul de aplicație trebuie să vedem sensul vectorului. Acesta fiind în sus, vom pune 0 în josul paginii.
Ca să aflăm lungimea segmentului vectorului împărțim valoarea (modulul) vectorului la etalon: 1800 : 300 = 6 cm.
Desenăm punctată direcția principală, punem linia raportorului pe ea, cu mijlocul ei în 0 și măsurăm unghiul de 50° cu verticala. Pe această direcție oblică desenăm un segment de 6 cm și în vârf îi punem săgeata care arată sensul lui. Lângă săgeată notăm vectorul.
1.3.D. Un corp se deplasează accelerat cu o accelerație de 42 m/s2, pe o direcție ce face un unghi de 30° cu orizontala, în sus.
Rezolvare:
Deci, a = 42 m/s2, direcție cu un unghi de 30° cu orizontala, sensul în sus.
Etalon: 1cm : 6 m/s2
Ca să punem punctul de aplicație trebuie să vedem sensul vectorului. Acesta fiind în sus, vom pune 0 în josul paginii.
Ca să aflăm lungimea segmentului vectorului împărțim valoarea (modulul) vectorului la etalon: 42 : 6 = 7 cm.
Desenăm punctată direcția principală, punem linia raportorului pe ea, cu mijlocul ei în 0 și măsurăm unghiul de 30° cu orizontala. Pe această direcție oblică desenăm un segment de 7cm și în vârf îi punem săgeata care arată sensul lui. Lângă săgeată notăm vectorul.
1.4. Care dintre următoarele mărimi fizice sunt scalare, respectiv vectoriale ?
- Aria (S) – scalar
- Timpul (t) – scalar
- Accelerația (a) – vector
- Forța de frecare (Ff) – vector
- Temperatura (T) - scalar
- Forța de greutate (G) – vector
- Deplasarea (d) - vector
1.5. Doi copii trag de o sanie pe un drum orizontal, spre vest, cu forțele F1 = 400 N, respectiv F2 = 800 N. Compune cele două forțe ale copiilor.
Rezolvare:
Vectorul rezultant are:
- valoarea numerică egală cu suma valorilor numerice a vectorilor componenți, adică F = F1 + F2 = 400 N + 800 N = 1200 N
- direcția comună cu vectorii componenți: orizontală
- sensul comun cu vectorii componenți: spre stânga.
Pentru a reprezenta vectorul rezultant trebuie să ne alegem un etalon corespunzător, astfel încât să avem loc de desen pe pagina caietului.
Etalon: 1 cm : 200 N
Segmentul vectorului rezultant este de 1200:200 = 6 cm.
1.6. Asupra resortului unui dinamometru suspendat de un suport, acționează două forțe, una de 60 N, pe verticală în jos, cealaltă de 150 N, pe verticală în sus. Ce forță indică dinamometrul ?
Rezolvare:
Vectorul rezultant are:
- valoarea numerică egală cu diferența valorilor numerice a vectorilor componenți, adică F = F2 – F1 = 150 N – 60 N = 90 N
- direcția comună cu vectorii componenți: verticală
- sensul vectorului cu valoare mai mare: în sus.
Pentru a reprezenta vectorul rezultant trebuie să ne alegem un etalon corespunzător, astfel încât să avem loc de desen pe pagina caietului.
Etalon: 1 cm : 30 N.
Segmentul vectorului rezultant este de 90:30 = 3 cm.
1.7. Asupra unui dinamometru acționează două forțe, una de 150 N pe o direcție verticală, sensul în sus. Dinamometrul indică o forță de 90 N, resortul lui fiind alungit pe verticală, în jos. Desenează cea de-a doua forță care acționează asupra resortului dinamometrului.
Rezolvare:
Etalon: 1 cm : 60 N.
Scriem ecuația vectorială:
Scriem ecuația scalară ținând cont de convenția de semne :
-90 N = 150 N + F2 (F se ia cu minus, fiindcă este pe verticală în jos, iar F1 se ia cu plus, fiindcă este pe verticală în sus)
F2 = -90 N -150 N = -240 N . Rezultă că F2 are un segment de 240 : 60 = 4cm, pe o direcție verticală, sensul în jos (deoarece ne-a dat cu semnul minus).
1.8. Un râu curge spre est cu o viteză de 60 km/h. O barcă merge pe râu în sensul lui de curgere cu viteza de 100 km/h, pe o direcție ce face un unghi de 30° față de malul râului. Care este viteza bărcii față de mal? Reprezintă grafic la scara: 1 cm : 20 km/h.
Rezolvare:
v1 = 60 km/h, direcție orizontală, sensul spre dreapta
v2 = 100 km/h, direcție ce face un unghi de 30° cu orizontala, în sus.
Etalon: 1cm : 20 km/h.
1.9. Un biciclist merge către est 20 km, apoi către sud 40 km, apoi către vest 80 km și către nord 60 km. Determină vectorul rezultant, adică la ce distanță a ajuns biciclistul față de reper (0).
Rezolvare:
d1 = 20 km, direcție orizontală, spre dreapta
d2 = 40 km, direcție verticală, în jos
d3 = 80 km, direcție orizontală, spre stânga
d4 = 60 km, direcție verticală, în sus
Etalon: 1 cm : 10 km.
-
Reprezentăm primul vector deplasare d1. Al II-lea vector îi punem punctul de aplicație în vârful primului, ș.a.m.d. până reprezentăm toți cei patru vectori.
-
Vectorul rezultant este segmentul care se obține prin unirea originii (0) cu vârful ultimului vector, având vârful în vârful ultimului vector.
-
Valoarea vectorului rezultant o obținem prin măsurarea segmentului său cu rigla și apoi înmulțim cu etalonul dat: d = 6,3 ∙ 10 = 63 km. Deci biciclistul se află la o distanță de 63 km față de punctul de plecare, după toată cursa.
1. Laurențiu bate un cui cu ciocanul cu o forță de 500 N într-un perete, ținând cuiul înclinat față de perete cu un unghi α = 38°. Ce valoare au forțele care compun forța lui Laurențiu ?
Rezolvare:
F = 500 N, direcție ce face un unghi de 38° cu verticala.
Putem afla cele două forțe prin metoda grafică.
Etalon: 1 cm : 100 N
500 N : 100 N = 5 cm reprezintă segmentul forței F și o desenăm.
Din vârful vectorului F se duc perpendiculare pe cele două direcții Ox și Oy.
Măsurăm cu rigla segmentele vectorilor componenți și înmulțim cu etalonul pentru a le afla valorile.
Fx = 3 ∙ 100 = 300 N
Fy = 4 ∙ 100 = 400 N
Scriem ecuația vectorială:
Verificăm cu teorema lui Pitagora
Scriem ecuația scalară:
5002 = 3002 + 4002
250000 = 90000 + 160000