I.5. Adunarea (compunerea) vectorilor.
A aduna (a compune) doi (F1 și F2) sau mai mulți vectori înseamnă a le determina vectorul rezultant (F) .
Ecuația vectorială este:
Pentru a compune vectorii avem două cazuri:
I.5.1. Compunerea vectorilor coliniari.
Vectorii coliniari sunt vectori care au aceeaşi direcţie.
1. Dacă vectorii coliniari au același sens (unghiul dintre ei este de 0°) atunci vectorul rezultant are:
- valoarea numerică egală cu suma valorilor numerice a vectorilor componenți
- direcția comună cu vectorii componenți
- sensul comun cu vectorii componenți.
🔦 Observație
Este similară cu adunarea algebrică a numerelor cu același semn (numerele se adună și la rezultat se trece semnul comun).
2. Dacă vectorii coliniari au sensuri opuse (unghiul dintre ei este de 180°) atunci vectorul rezultant are:
- valoarea numerică egală cu diferența valorilor numerice a vectorilor componenți (se scade din cel cu valoarea mai mare cel cu valoare mai mică)
- direcția comună cu vectorii componenți
- sensul vectorului cu valoare mai mare.
🔦 Observație
Este similară cu adunarea algebrică a numerelor cu semne diferite (numerele se scad, cel cu valoare mai mare minus cel cu valoare mai mică și la rezultat se trece semnul numărului mai mare)
🔦 Observație
La matematică ai învățat că un sistem de coordonate cartezian în două dimensiuni este definit de obicei de două axe în unghi drept una cu cealaltă, formând un plan. Axa orizontală este în mod normal etichetată Ox, și axa verticală este notată cu Oy. Punctul de intersecție a axelor se numește origine și se notează cu O. Pentru a specifica un anume punct pe un sistem de coordonate bidimensional, se indică întâi unitatea x (abscisa), urmată de unitatea y (ordonata).
Convențional, intersecția celor două axe dă naștere la patru regiuni, denumite cadrane, notate cu numerele romane I (+,+), II (−,+), III (−,−) și IV (+,−). În primul cadran, ambele coordonate sunt pozitive, în al doilea cadran abscisele sunt negative și ordonatele pozitive, în al treilea cadran ambele coordonate sunt negative iar in al patrulea cadran, abscisele sunt pozitive iar ordonatele negative.
🔓 Probleme rezolvate
1. Doi copii trag de o sanie pe un drum orizontal, spre vest, cu forțele F1 = 400 N, respectiv F2 = 800 N. Compune cele două forțe ale copiilor.
Rezolvare:
Vectorul rezultant are:
- valoarea numerică egală cu suma valorilor numerice a vectorilor componenți, adică F = F1 + F2 = 400 N + 800 N = 1200 N
- direcția comună cu vectorii componenți: orizontală
- sensul comun cu vectorii componenți: spre stânga.
Pentru a reprezenta vectorul rezultant trebuie să ne alegem un etalon corespunzător, astfel încât să avem loc de desen pe pagina caietului.
Etalon: 1 cm : 200 N
Segmentul vectorului rezultant este de 1200:200 = 6 cm.
2. Asupra resortului unui dinamometru suspendat de un suport, acționează două forțe, una de 60 N, pe verticală în jos, cealaltă de 150 N, pe verticală în sus. Ce forță indică dinamometrul ?
Rezolvare:
Vectorul rezultant are:
- valoarea numerică egală cu diferența valorilor numerice a vectorilor componenți, adică F = F2 – F1 = 150 N – 60 N = 90 N
- direcția comună cu vectorii componenți: verticală
- sensul vectorului cu valoare mai mare: în sus.
Pentru a reprezenta vectorul rezultant trebuie să ne alegem un etalon corespunzător, astfel încât să avem loc de desen pe pagina caietului.
Etalon: 1 cm : 30 N.
Segmentul vectorului rezultant este de 90:30 = 3 cm.
3. Asupra unui dinamometru acționează două forțe, una de 150 N pe o direcție verticală, sensul în sus. Dinamometrul indică o forță de 90 N, resortul lui fiind alungit pe verticală, în jos. Desenează cea de-a doua forță care acționează asupra resortului dinamometrului.
Rezolvare:
Etalon: 1 cm : 60 N.
Scriem ecuația vectorială:
Scriem ecuația scalară ținând cont de convenția de semne :
-90 N = 150 N + F2 (F se ia cu minus, fiindcă este pe verticală în jos, iar F1 se ia cu plus, fiindcă este pe verticală în sus)
F2 = -90 N -150 N = -240 N . Rezultă că F2 are un segment de 240 : 60 = 4cm, pe o direcție verticală, sensul în jos (deoarece ne-a dat cu semnul minus).
I.5.2. Compunerea vectorilor necoliniari.
Vectorii necoliniari sunt vectori care nu au aceeaşi direcţie.
Compunerea vectorilor necoliniari (care nu au aceeași direcție) se realizează după două reguli: Regula paralelogramului şi Regula poligonului.
I.5.2.1. Regula paralelogramului.
Regula paralelogramului se folosește pentru adunarea a doi vectori necoliniari concurenți (care au același punct de aplicație), parcurgând următoarele patru etape:
- Se desenează ce doi vectori astfel încât să aibă același punct de aplicație.
- Cu segmentele celor 2 vectori, se formează un paralelogram (patrulater cu laturile opuse paralele și egale ).
- Se trasează diagonala paralelogramului care are punct comun cu cei doi vectori. Acest segment reprezintă vectorul rezultant , care se notează și i se pune săgeată în capăt.
- Cu rigla măsurăm segmentul vectorului rezultant și cu regula de trei simplă, aflăm valoarea lui numerică.
🔓 Problemă rezolvată
1. Un râu curge spre est cu o viteză de 60 km/h. O barcă merge pe râu în sensul lui de curgere cu viteza de 100 km/h, pe o direcție ce face un unghi de 30° față de malul râului. Care este viteza bărcii față de mal? Reprezintă grafic la scara: 1 cm : 20 km/h.
Rezolvare:
v1 = 60 km/h, direcție orizontală, sensul spre dreapta
v2 = 100 km/h, direcție ce face un unghi de 30° cu orizontala, în sus.
Etalon: 1cm : 20 km/h.
I.5.2.2. Regula poligonului.
Regula poligonului se folosește pentru adunarea mai multor vectori necoliniari neconcurenți (care nu au același punct de aplicație), parcurgând următoarele etape:
- Se desenează primul vector.
- Al doilea vector se desenează cu originea în vârful primului vector, păstrându-i direcția.
- Al treilea vector se desenează cu originea în vârful celui de-al doilea vector, păstrându-i direcția ș.a.m.d. până reprezentăm toți vectorii.
- Vectorul rezultant este segmentul care se obține prin unirea originii primului vector (0) cu vârful ultimului vector, având vârful în vârful ultimului vector.
- Valoarea vectorului rezultant o obținem prin măsurarea segmentului său cu rigla și apoi înmulțim cu etalonul dat (ales).
🔓 Problemă rezolvat ă
1. Un biciclist merge către est 20 km, apoi către sud 40 km, apoi către vest 80 km și către nord 60 km. Determină vectorul rezultant, adică la ce distanță a ajuns biciclistul față de reper (0).
Rezolvare:
d1 = 20 km, direcție orizontală, spre dreapta
d2 = 40 km, direcție verticală, în jos
d3 = 80 km, direcție orizontală, spre stânga
d4 = 60 km, direcție verticală, în sus
Etalon: 1 cm : 10 km.
-
Reprezentăm primul vector deplasare d1. Al II-lea vector îi punem punctul de aplicație în vârful primului, ș.a.m.d. până reprezentăm toți cei patru vectori.
-
Vectorul rezultant este segmentul care se obține prin unirea originii (0) cu vârful ultimului vector, având vârful în vârful ultimului vector.
-
Valoarea vectorului rezultant o obținem prin măsurarea segmentului său cu rigla și apoi înmulțim cu etalonul dat: d = 6,3 ∙ 10 = 63 km. Deci biciclistul se află la o distanță de 63 km față de punctul de plecare, după toată cursa.
