I.1.3.2. Adunarea (compunerea) vectorilor

📚

Pentru a compune 2 vectori concurenți aplicăm regula paralelogramului, parcurgând următoarele etape:

Se desenează ce doi vectori astfel încât să aibă același punct de aplicație.
Cu segmentele celor 2 vectori, se formează un paralelogram (patrulater cu laturile paralele și egale).
Se trasează diagonala paralelogramului care are punct comun cu cei doi vectori. Acest segment reprezintă vectorul rezultant, care se notează și i se pune săgeată în capăt.

Modulul vectorului sumă este dat de relația:

🔦 Observație

🔓 Problemă rezolvată

1. Un râu curge spre est cu o viteză de 60 km/h. O barcă merge pe râu în sensul lui de curgere cu viteza de 100 km/h, pe o direcție ce face un unghi de 30° față de malul râului. Care este viteza bărcii față de mal?
Reprezintă grafic la scara: 1 cm : 20 km/h.

Rezolvare:

Scriem datele problemei
v₁ = 60 km/h, direcție orizontală, sensul spre dreapta
v₂ = 100 km/h, direcție ce face un unghi de 30° cu orizontala, în sus.
1 cm : 20 km/h

Modulul vectorului sumă este dat de relația:

v² = v₁²+ v₂² + 2v₁ • v₂ • cosα = 60² + 100² + 2 ∙ 60 ∙ 100 ∙ cos 30°
v² = 3600 + 10000 + 12000 ∙ 1/2
v² = 19600
v = 140 km/h

📚

Când cei doi vectori sunt coliniari (au aceeași direcție), avem două cazuri particulare la regula paralelogramului:

a) Când cei doi vectori sunt coliniari și cu același sens (unghiul dintre ei este de 0°), vectorul rezultant are:

valoarea numerică egală cu suma valorilor numerice a vectorilor componenți
direcția comună cu vectorii componenți
sensul comun cu vectorii componenți.

b) Când cei doi vectori sunt coliniari și cu sensuri opuse (unghiul dintre ei este de 180°), vectorul rezultant are:

valoarea numerică egală cu diferența valorilor numerice a vectorilor componenți (se scade din cel cu valoarea mai mare cel cu valoare mai mică)
direcția comună cu vectorii componenți
sensul vectorului cu valoare mai mare.

🔓 Probleme rezolvate

2. Doi copii trag de o sanie pe un drum orizontal, spre vest, cu forțele F₁ = 400 N, respectiv F₂ = 800 N. Compune cele două forțe ale copiilor.

Rezolvare:

Vectorul rezultant are:

valoarea numerică egală cu suma valorilor numerice a vectorilor componenți, adică F = F₁ + F₂ = 400 N + 800 N = 1200 N
direcția comună cu vectorii componenți: orizontală
sensul comun cu vectorii componenți: spre stânga.

Pentru a reprezenta vectorul rezultant trebuie să ne alegem un etalon corespunzător, astfel încât să avem loc de desen pe pagina caietului.

Etalon: 1 cm : 200 N

Segmentul vectorului rezultant este de 1200:200 = 6 cm.

3. Asupra resortului unui dinamometru suspendat de un suport, acționează două forțe, una de 60 N, pe verticală în jos, cealaltă de 150 N, pe verticală în sus. Ce forță indică dinamometrul ?

Rezolvare:

Vectorul rezultant are:

valoarea numerică egală cu diferența valorilor numerice a vectorilor componenți, adică F = F₂ – F₁ = 150 N – 60 N = 90 N
direcția comună cu vectorii componenți: verticală
sensul vectorului cu valoare mai mare: în sus.

Pentru a reprezenta vectorul rezultant trebuie să ne alegem un etalon corespunzător, astfel încât să avem loc de desen pe pagina caietului.

Etalon: 1 cm : 30 N.

Segmentul vectorului rezultant este de 90:30 = 3 cm.

📚

Pentru adunarea a mai multor vectori necoliniari neconcurenți (care nu au același punct de aplicație) se folosește regula poligonului, parcurgând următoarele etape:

Se desenează primul vector.
Al doilea vector se desenează cu originea în vârful primului vector, păstrându-i direcția.
Al treilea vector se desenează cu originea în vârful celui de-al doilea vector, păstrându-i direcția ș.a.m.d. până reprezentăm toți vectorii.
Vectorul rezultant este segmentul care se obține prin unirea originii (0) cu vârful ultimului vector, având vârful în vârful ultimului vector.
Valoarea vectorului rezultant o obținem prin măsurarea segmentului său cu rigla și apoi înmulțim cu etalonul dat (ales).

Observație:

Regula triunghiului este un caz particular al regulii poligonului pentru 2 vectori.

🔓 Problemă rezolvată

4. Un biciclist merge către est 20 km, apoi către sud 40 km, apoi către vest 80 km și către nord 60 km. Determină vectorul rezultant, adică la ce distanță a ajuns biciclistul față de reper (0).

Rezolvare:

d₁ = 20 km, direcție orizontală, spre dreapta

d₂ = 40 km, direcție verticală, în jos

d₃ = 80 km, direcție orizontală, spre stânga

d₄ = 60 km, direcție verticală, în sus

Etalon: 1 cm : 10 km.

Reprezentăm primul vector deplasare d₁. Al II-lea vector îi punem punctul de aplicație în vârful primului, ș.a.m.d. până reprezentăm toți cei patru vectori.
Vectorul rezultant este segmentul care se obține prin unirea originii (0) cu vârful ultimului vector, având vârful în vârful ultimului vector.
Valoarea vectorului rezultant o obținem prin măsurarea segmentului său cu rigla și apoi înmulțim cu etalonul dat: d = 6,3 ∙ 10 = 63 km. Deci biciclistul se află la o distanță de 63 km față de punctul de plecare, după toată cursa.