II.1.6. Mișcarea rectilinie uniform variată
Mișcarea rectilinie uniform variată este mișcarea unui mobil pe o traiectorie rectilinie și cu vectorul accelerație instantanee constant în modul, direcție și sens.
Mișcarea rectilinie uniform variată este de două feluri: mișcarea rectilinie uniform accelerată și mișcarea rectilinie uniform decelerată.
Un mobil are o mișcare rectilinie uniform accelerată atunci când modulul vitezei lui crește în timp.
Iată cum arată pozițiile unui mobil la intervale de timp egale în mișcarea rectilinie uniform accelerată:
În mișcarea rectilinie uniform accelerată :
- Mobilul parcurge distanțe din ce în ce mai mari, în intervale de timp egale.
- Accelerația momentană este egală cu accelerația medie, fiind constante.
- Accelerația și viteza au aceeași direcție și sens, ca și cel al mișcării.
Exemplu de MRUA
Cel mai cunoscut exemplu de mișcare rectilinie uniform accelerată este căderea liberă a corpurilor pe Pământ.
Toate corpurile cad spre Pământ cu o accelerație constantă, numită accelerație gravitațională, g = 9,81 m/s2. Când corpul cade liber, viteza inițială a acestuia este v0 = 0 m/s.
Legea accelerației în MRUA este:
Legea vitezei în MRUA este:
Deoarece în MRUA, în intervalul de timp [t0, t], viteza mobilului crește liniar cu timpul, se poate calcula viteza medie (vm) ca medie aritmetică a valorii acesteia la momentele 0 și t, adică:
Legea spațiului în MRUA:
Când avem cazul particular t0 = 0, legea spațiului devine:
Când avem cazul particular t0 = 0, v0 = 0 și x0 = 0, legea spațiului devine:
Legea spațiului în MRUA se obține egalând definiția generală a vitezei medii cu expresia vitezei medii în MRUA:
Formula lui Galilei ne permite să calculăm viteza mobilului pentru orice poziție a sa:
v2 = v02 + 2a (x - x0)
Cazuri particulare:
a) Dacă mobilul pleacă chiar din reper (din O - originea coordonatelor), x0 = 0, la t = 0, atunci avem relația:
v2 = v02 + 2ax
b) Dacă și v0 = 0, adică mobilul pleacă din repaus, la t = 0, avem :
v2 = 2ax
Formula lui Galilei se obține astfel:
- scoatem timpul din ecuația vitezei:
- introducem timpul în legea spațiului și scoatem viteza din ecuația finală :
1. Privește cu atenție datele despre mișcarea fetei. Cum determinăm tipul mișcării ei ?
Observăm că în intervale de timp egale (de 4 s), fata parcurge distanțe din ce în ce mai mari. Dacă efectuăm calculul vitezelor pe fiecare porțiune, acestea cresc. Vitezele cresc cu valori egale (Δv = 1 m/s) în intervale de timp egale (Δt = 4 s). Cum accelerația este raportul dintre variația vitezei pe intervalul de timp, rezultă că mișcarea este rectilinie uniform accelerată.
2. Pentru a intra într-o depășire, o mașină care se deplasează cu o viteză de 54 km/h, accelerează cu 4 m/s2. La ce viteză ajunge mașina după 5 s ?
Rezolvare:
- Notăm datele problemei și le transformăm în SI:
- Scriem formula accelerației și scoatem necunoscuta, v2:
3. Două corpuri pornesc din același punct, pe aceeași direcție cu vitezele inițiale v01 = 4 m/s, respectiv v02 = 2 m/s și accelerațiile a1 = 2 m/s2, respectiv a2 = 4 m/s2. Mobilul 2 pornește mai târziu decât primul la un interval τ = 1 s. Să se afle:
a) După cât timp și la ce distanță se vor întâlni corpurile.
b) Vitezele medii ale mobilelor de la punctul de plecare până când s-au întâlnit.
Rezolvare:
Notăm datele problemei:
v01 = 4 m/s
v02 = 2 m/s
a1 = 2 m/s2
a2 = 4 m/s2
τ = 1 s
a)
Alegem originea coordonatei (O) în punctul în care se află mobilul 1 la t0 = 0 și în care pozițiile inițiale ale celor două mobile să fie zero, adică x01 = x02 = 0.
Pentru ca cele 2 corpuri să se întâlnească, ele trebuie să fie în același punct pe axa Ox, la aceeași distanță de origine, adică x1 = x2.
Aplicăm legea spațiului în MRUA pentru fiecare mobil, înlocuind datele problemei și apoi egalăm coordonatele:
Pentru a afla timpul de întâlnire al celor două mobile de când a plecat primul mobil, trebuie rezolvată ecuația de gradul al doilea:
– t2 + 6t = 0
Scriem ecuația generală de gradul al II-lea:
ax2 + bx + c = 0
a = –1; b = 6; c = 0
Soluțiile ecuației sunt :
Această soluție este inacceptabilă, deoarece ar însemna că acest corp nu s-a mișcat, rămânând în origine.
Coordonata punctului de întâlnire este:
b) Calculăm vitezele medii ale celor două mobile:
4. Un mobil care pleacă din repaus se deplasează rectiliniu uniform accelerat cu o accelerație de 0,5 m/s2. La poziția x1 atinge o viteză de 20 m/s și la poziția x2 viteza lui este 25 m/s. Să se afle:
a) Poziția x1 față de origine.
b) Timpul în care a ajuns de la origine în poziția x1.
c) Timpul în care parcurge distanța de la x1 la x2.
d) Poziția x2 față de x1.
e) Vitezele medii pe porțiunile Ox1 și x1x2.
Rezolvare:
Notăm datele problemei:
v1 = 20 m/s
v2 = 25 m/s
a = 0,5 m/s2
x1 = ?
Pentru a afla poziția unui mobil, știindu-i numai viteza și accelerația în acel punct, aplicăm formula lui Galilei pentru MRUA:
v2 = v02 + 2a (x-x0)
Avem x0 = 0, t = 0 și v0 = 0, deci putem scrie:
b) Aplicăm legea spațiului în MRUA:
c) Pentru a afla poziția x2 față de x1, considerăm originea în x1, viteza inițială v1 și aplicăm formula lui Galilei:
d) Pentru a afla timpul t2 în care parcurge distanța de la x1 la x2, considerăm originea în x1, viteza inițială v1 și aplicăm legea spațiului:
Pentru a afla timpul trebuie rezolvată ecuația de gradul al doilea:
0,25 t22 + 20t2 – 225 = 0
Scriem ecuația generală de gradul al II-lea:
ax2 + bx + c = 0
a = 0,25; b = 20; c = – 225
Soluțiile ecuației sunt:
Această soluție (t2) este inacceptabilă, deoarece timpul nu poate fi negativ.
e) Vitezele medii le aflăm cu media aritmetică a celor două viteze, inițială și finală pentru fiecare porțiune:
5. Un mobil are o mișcare rectilinie după următoarea lege:
x(t) = 4 – 5t + t2 (m) și [t] = s.
Se cere:
a) La ce moment se oprește mobilul și în ce poziție ?
b) Realizează graficul mișcării x(t) = f(t).
c) Ce accelerație are mobilul în momentul opririi?
Rezolvare:
a) Pentru a determina timpul de oprire parcurgem următoarele etape:
Se rezolvă ecuația de gradul al II-lea:
t2 – 5t + 4 = 0
Scriem ecuația generală de gradul al II-lea:
ax2 + bx + c = 0
a = 1; b = –5; c = 4
Soluțiile ecuației sunt:
Pentru a obține timpul minim se face media aritmetică a celor doi timpi obținuți la rezolvarea ecuației:
Pentru a obține poziția minimă corespunzătoare timpului minim, se calculează f(tmin):
f(2,5) = (2,5)2 –5(2,5) + 4 = 6,25 –12,5 + 4 = 2,25 m
b)
c) Pentru a afla accelerația scriem legea spațiului și o comparăm cu ecuația mișcării:
Termenul liber este coordonata inițială: x0 = 4 m.
Coeficientul timpului t este viteza inițială: v0 = – 5 m/s.
Coeficientul timpului la pătrat t2 este jumătate din accelerație: a = 2 m/s2.
Un mobil are o mișcare rectilinie uniform decelerată atunci când modulul vitezei lui scade în timp.
Iată cum arată pozițiile unui mobil la intervale de timp egale în mișcarea rectilinie uniform decelerată (frânată):
În mișcarea rectilinie uniform decelerată:
- Mobilul parcurge distanțe din ce în ce mai mici, în intervale de timp egale.
- Accelerația momentană este egală cu accelerația medie, fiind constante.
- Accelerația și viteza au aceeași direcție, dar sens opus.
Legea accelerației în MRUD este:
Legea vitezei în MRUD este:
Deoarece în MRUD, în intervalul de timp [t0, t], viteza mobilului scade liniar cu timpul și la un moment corpul se va opri, având viteza v(top)= 0. Acest timp de oprire, notat top, se calculează din legea vitezei, cu relația:
Pentru cazul particular, t0 = 0, timpul de oprire este:
Legea spațiului în MRUD:
Când avem cazul particular t0 = 0, legea spațiului devine:
Când avem cazul particular t0 = 0, v0 = 0 și x0 = 0, legea spațiului devine:
Formula lui Galilei ne permite să calculăm viteza mobilului pentru orice poziție (x) a sa:
v2 = v02 - 2|a| ∙ (x-x0)
Cazuri particulare:
a) Dacă mobilul pleacă chiar din O (originea coordonatelor), x0 = 0, la t = 0, atunci avem relația:
v2 = v02 - 2|a|∙x
b) Dacă și v0 = 0, adică mobilul pleacă din repaus, la t = 0, avem:
v2 = 2|a|∙x
6. O bilă este aruncată vertical în sus cu o viteză inițială de 2 m/s. Accelerația gravitațională o considerăm constantă, g ≈ 10 m/s2 (în mod normal ea scade cu creșterea altitudinii). Să se determine:
a) Timpul în care bila urcă la înălțimea maximă.
b) Înălțimea maximă la care urcă bila.
c) Timpul în care bila coboară de la înălțimea maximă înapoi pe sol.
Rezolvare:
a) Când bila urcă pe verticală, ea are o mișcare rectilinie uniformă decelerată, deoarece se mișcă în sens opus atracției gravitaționale, cu o accelerație |a| = g. Mișcându-se frânat, la un moment dat se va opri la o anumită înălțime. Prin urmare aplicăm formula timpului de oprire din MRUD, cu t0 = 0:
b) Pentru a calcula înălțimea maximă la care urcă bila, cu x0 =0, aplicăm relația coordonatei de oprire xop = hmax:
c) Odată ajunsă la înălțimea maximă, bila se va opri și imediat va începe să coboare sub acțiunea accelerației gravitaționale constante, adică va avea o mișcare rectilinie uniformă accelerată. Scriem legea spațială a MRUA:
Când avem cazul particular t0 = 0, v0 = 0 și x0 = 0, legea spațiului devine:
Egalăm cele două formule și scoatem necunoscuta, timpul de coborâre, tc :
7. Un tren care circulă cu o viteză de 22 m/s se deplasează pe aceeași linie și în același sens cu un alt tren care circulă cu viteza de 18 m/s. Se cere:
a) Cu ce accelerație trebuie să frâneze primul tren pentru a nu se ciocni cu cel de-al doilea tren, știind distanța dintre trenuri de 160 m.
b) Cu ce accelerație trebuie să frâneze primul tren pentru a nu se ciocni cu cel de-al doilea tren, dacă trenurile au sensuri opuse și ambele trenuri vor frâna ? Care este distanța parcursă de primul tren până la oprire ?
Rezolvare :
Datele problemei: v1 = 22 m/s v2 = 18 m/s d = 160 m
a) Când trenurile au aceeași direcție și același sens, este suficient numai ca primul tren trebuie să frâneze ca să ajungă la viteza celui de-al doilea tren. Deci, aplicăm formula lui Galilei, luând poziția primului tren egală cu distanța dintre cele două trenuri înainte de a începe frânarea :
b) Când trenurile au aceeași direcție, dar sens opus, ambele trenuri trebuie să frâneze până la oprire, cu accelerația a. Dar ambele trenuri se mișcă unul spre altul, astfel până la oprire primul tren considerăm că parcurge o distanță x1, iar cel de-al doilea x2 = d – x1. Aplicăm formula lui Galilei pentru ambele trenuri :
Îl înlocuim pe x1 în cea de-a doua ecuație, pentru a afla necunoscuta a.
Pentru a determina distanța parcursă de primul tren până la oprire, înlocuim datele obținute:
